Log-Rank Test

The log-rank test [3] is a non-parametric test to compare the survival distributions of two or more groups. It can be stratified to account for baseline differences.

Suppose we have $G$ groups. At each event time $t_j$:

• $d_{gj}$: number of events in group $g$ at $t_j$
• $Y_{gj}$: number at risk in group $g$ just before $t_j$
• $d_j = \sum_g d_{gj}$: total events at $t_j$
• $Y_j = \sum_g Y_{gj}$: total at risk at $t_j$

The expected number of events in group $g$ at $t_j$ under the null hypothesis is:

\[E_{gj} = Y_{gj} \frac{d_j}{Y_j}\]

The log-rank test statistic is:

\[Z_g = \sum_j (d_{gj} - E_{gj})\]

For two groups, the test statistic is:

\[Z = \frac{\left[\sum_j (d_{1j} - E_{1j})\right]^2}{\sum_j V_{1j}}\]

where

\[V_{1j} = \frac{Y_{1j} Y_{2j} d_j (Y_j - d_j)}{Y_j^2 (Y_j - 1)}\]

Under the null hypothesis, $Z$ is approximately chi-squared distributed with $G-1$ degrees of freedom.

Stratified Log-Rank Test

If there are stratas, the test statistic and variance are summed over strata.

Usage

You can compute a log-rank test using the following code:

using SurvivalModels

T = [1, 2, 3, 4, 1, 2, 3, 4]
Δ = [1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1]
group = [1, 1, 2, 2, 1, 1, 2, 2]
strata = [1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2]
lrt = LogRankTest(T, Δ, group, strata)

LogRankTest{Float64}([1.0 0.0; 1.0 0.0;;; 1.0 0.0; 1.0 0.0;;; 0.0 1.0; 0.0 1.0;;; 0.0 1.0; 0.0 1.0], [0.08333333333333333 0.08333333333333333; 0.08333333333333333 0.08333333333333333;;; 0.1111111111111111 0.1111111111111111; 0.1111111111111111 0.1111111111111111;;; 0.0 0.0; 0.0 0.0;;; 0.0 0.0; 0.0 0.0], [0.5 -0.5; 0.5 -0.5;;; 0.6666666666666667 -0.6666666666666666; 0.6666666666666667 -0.6666666666666666;;; 0.0 0.0; 0.0 0.0;;; 0.0 0.0; 0.0 0.0], [2.0 2.0; 2.0 2.0;;; 1.0 2.0; 1.0 2.0;;; 0.0 2.0; 0.0 2.0;;; 0.0 1.0; 0.0 1.0], [0.5 0.5; 0.5 0.5;;; 0.3333333333333333 0.6666666666666666; 0.3333333333333333 0.6666666666666666;;; 0.0 1.0; 0.0 1.0;;; 0.0 1.0; 0.0 1.0], [0.041666666666666664 -0.041666666666666664; 0.041666666666666664 -0.041666666666666664;;; -0.041666666666666664 0.041666666666666664; -0.041666666666666664 0.041666666666666664;;;; 0.0617283950617284 -0.06172839506172839; 0.0617283950617284 -0.06172839506172839;;; -0.06172839506172839 0.06172839506172839; -0.06172839506172839 0.06172839506172839;;;; 0.0 0.0; 0.0 0.0;;; 0.0 0.0; 0.0 0.0;;;; 0.0 0.0; 0.0 0.0;;; 0.0 0.0; 0.0 0.0], 26.328358208955226, 1, 2.8802831392596973e-7)

and/or with the formula interface:

using DataFrames
df = DataFrame(time=T, status=Δ, group=group, strata=strata)
lrt2 = fit(LogRankTest, @formula(Surv(time, status) ~ Strata(strata) + group), df)

LogRankTest{Float64}([1.0 0.0; 1.0 0.0;;; 1.0 0.0; 1.0 0.0;;; 0.0 1.0; 0.0 1.0;;; 0.0 1.0; 0.0 1.0], [0.08333333333333333 0.08333333333333333; 0.08333333333333333 0.08333333333333333;;; 0.1111111111111111 0.1111111111111111; 0.1111111111111111 0.1111111111111111;;; 0.0 0.0; 0.0 0.0;;; 0.0 0.0; 0.0 0.0], [0.5 -0.5; 0.5 -0.5;;; 0.6666666666666667 -0.6666666666666666; 0.6666666666666667 -0.6666666666666666;;; 0.0 0.0; 0.0 0.0;;; 0.0 0.0; 0.0 0.0], [2.0 2.0; 2.0 2.0;;; 1.0 2.0; 1.0 2.0;;; 0.0 2.0; 0.0 2.0;;; 0.0 1.0; 0.0 1.0], [0.5 0.5; 0.5 0.5;;; 0.3333333333333333 0.6666666666666666; 0.3333333333333333 0.6666666666666666;;; 0.0 1.0; 0.0 1.0;;; 0.0 1.0; 0.0 1.0], [0.041666666666666664 -0.041666666666666664; 0.041666666666666664 -0.041666666666666664;;; -0.041666666666666664 0.041666666666666664; -0.041666666666666664 0.041666666666666664;;;; 0.0617283950617284 -0.06172839506172839; 0.0617283950617284 -0.06172839506172839;;; -0.06172839506172839 0.06172839506172839; -0.06172839506172839 0.06172839506172839;;;; 0.0 0.0; 0.0 0.0;;; 0.0 0.0; 0.0 0.0;;;; 0.0 0.0; 0.0 0.0;;; 0.0 0.0; 0.0 0.0], 26.328358208955226, 1, 2.8802831392596973e-7)

The produced object has the following fields:

• stat: Chi-square test statistic.
• df: Degrees of freedom.
• pval: P-value of the test.

References

LogRankTest(T, Δ, group, strata)
fit(LogRankTest, @formula(Surv(T, Δ) ~ gr), data = ...)
fit(LogRankTest, @formula(Surv(T, Δ) ~ Strata(st) + gr), data = ...)